Абстракт: букву «ё» нужно писать везде.
Дисклеймер: в этом тексте много кавычек и букв «ё», а ещё я не историк и многие детали опускаю.
Содержание:
«Подлец Карамзин – придумал же такую букву «ё». Ведь у Кирилла и Мефодия были уже и Б, и Х, и Ж... Так нет же. Эстету Карамзину этого показалось мало…»
Венедикт Ерофеев
Во времена древних русов звука «ё» не было, а значит и буква была не нужна. Потом звук появился, и, чтобы его обозначить, использовали диграммы типа «їо» — ну или вообще не парились и писали «е».
Большой реформатор русского языка, Карамзин (учитель Пушкина, кстати), изобрел «ё» и начал использовать её в своих стихотворениях. Для интересующихся — разоблачение мифа про княгиню Дашкову и подробнее про историю в видео Микитки сына Алексеева.
Как раньше, так и сейчас «ё» спокойно заменяется «е», за исключением редких случаев:
То, что одну букву можно заменить другой, необходимо, но недостаточно для того, чтобы предпочесть одно написание другому. Ниже — задротство.
«Ё» требовалось писать везде только 16 лет при сталине. «Свод правил русского языка» 1956 года отчасти по причинам 2 и 3 требовал писать «ё» только в словарях, учебниках для иностранцев и школоло.